(本題滿分12分)
把邊長為的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形(如圖陰影部分)后,用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器(不計接縫),設(shè)容器的高為,容積為.
(Ⅰ)寫出函數(shù)的解析式,并求出函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)求當x為多少時,容器的容積最大?并求出最大容積.
(Ⅰ),定義域為。(Ⅱ)容器高為時,容器的容積最大為.
解析試題分析:(Ⅰ)因為容器的高為x,則做成的正三棱柱形容器的底邊長為 ----2分.
則 . ---------4分
函數(shù)的定義域為. --------- 5分
(Ⅱ)實際問題歸結(jié)為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值點.
先求的極值點.
在開區(qū)間內(nèi),-----------6分
令,即令,解得.
因為在區(qū)間內(nèi),可能是極值點. 當時,;
當時,. ------------8分
因此是極大值點,且在區(qū)間內(nèi),是唯一的極值點,
所以是的最大值點,并且最大值
即當正三棱柱形容器高為時,容器的容積最大為.----------12分
考點:函數(shù)模型的實際應(yīng)用;利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值。
點評:本題主要考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,其中解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知求出棱柱的底面面積和高,進而求出函數(shù)的解析式,建立數(shù)學模型.求解析式的時候,要記得求函數(shù)的定義域。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù) (為常數(shù))是實數(shù)集R上的奇函數(shù),函數(shù)是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù)
(I)求的值;
(II)求的取值范圍;
(III)若在上恒成立,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知函數(shù)f (x)=-ax3+x2+(a-1)x- (x>0),(aÎR).
(Ⅰ)當0<a<時,討論f (x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f (x)在區(qū)間(a, a+1)上不具有單調(diào)性,求正實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)定義域為,且.
設(shè)點是函數(shù)圖像上的任意一點,過點分別作直線和軸的垂線,垂足分別為.
(1)寫出的單調(diào)遞減區(qū)間(不必證明);(4分)
(2)問:是否為定值?若是,則求出該定值,若不是,則說明理由;(7分)
(3)設(shè)為坐標原點,求四邊形面積的最小值.(7分)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),且在處取得極值.
(1)求的值;
(2)若當時,恒成立,求的取值范圍;
(3)對任意的是否恒成立?如果成立,給出證明,如果不成立,請說明理由.
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(11分)已知函數(shù)f(x)=x2+2ax-3:
(1)如果f(a+1)-f(a)=9,求a的值; (2)問a為何值時,函數(shù)的最小值是-4。
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(本小題滿分13分)已知函數(shù),.
(Ⅰ)設(shè)(其中是的導函數(shù)),求的最大值;
(Ⅱ)求證: 當時,有;
(Ⅲ)設(shè),當時,不等式恒成立,求的最大值.
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(本小題滿分15分)已知函數(shù),.
(1)用定義證明:不論為何實數(shù)在上為增函數(shù);
(2)若為奇函數(shù),求的值;
(3)在(2)的條件下,求在區(qū)間[1,5]上的最小值.
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