Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，且a₁=1，na_n+1=（n+2）s_n （n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和s_n；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=，= （n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（1）證明：將a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n；
整理得 （n∈N^•）．
又由已知=1，
所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）的結(jié)論可得=2^n-1，∴Sn=n•2^n-1
當(dāng)n≥2時(shí)，
a_n=S_n-S_n-1=n•2^n-1-（n-1）•2^n-2=（n+1）•2^n-2
由已知，a₁=1，又當(dāng)n=1時(shí)，（n+1）•2^n-2=1，
∴a_n=（n+1）•2^n-1（n∈N^*）．
（3）由=（n∈N^*）．
得=2^n-1，
由此式可得，
，
…
，

把以上各等式相加得，
=（n∈N^*，n≥2）．
所以b_n=（n∈N^*，n≥2）．
當(dāng)n=1時(shí)也符合，所以b_n=．
分析：（1）通過將a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n；即可推出數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；
（2）利用（1）的結(jié)論求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和s_n；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=，= （n∈N^*），推出得=2^n-1，利用累加法直接求解數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的判斷，通項(xiàng)公式的求法，前n項(xiàng)和的求法累加法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．