Question

7．求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
（1）y=sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$x∈（-2π，2π）；
（2）y=2sin（$\frac{π}{6}$-2x），x∈[0，π]．

Answer 1

分析 （1）化簡得y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}$），令-$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得函數(shù)的增區(qū)間與定義域（-2π，2π）取交集即可；
（2）化簡得y=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$），令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得函數(shù)的增區(qū)間與定義域[0，π]取交集即可；

解答 解：（1）y=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos$\frac{x}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}$），
令-$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{3π}{2}$+4kπ≤x≤$\frac{π}{2}$+4kπ．
∴y=sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{3π}{2}$+4kπ，$\frac{π}{2}$+4kπ]，k∈Z．．
[-$\frac{3π}{2}$+4kπ，$\frac{π}{2}$+4kπ]∩（-2π，2π）=[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
∴函數(shù)的增區(qū)間為[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
（2）y=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{5π}{6}+kπ$，
∴y=2sin（$\frac{π}{6}$-2x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{5π}{6}+kπ$]，k∈Z．
[$\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{5π}{6}+kπ$]∩[0，π]=[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴函數(shù)的增區(qū)間為[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．