Question

16．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F(xiàn)分別是上底面A₁B₁C₁D₁和側面CDD₁C₁的中心，若$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{AE}$，則x+y+z=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 構造輔助線，分別表示出$\overrightarrow{AE}$和$\overrightarrow{AF}$，兩式相減消去$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，即可求得$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，即可求得x+y+z的值．

解答 解：如圖，由題意可知：連接AC，BC交點為O，則點E在平面ABCD內(nèi)的射影為O，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，①
點F在平面ABCD內(nèi)的射影為M，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，②
②-①×$\frac{1}{2}$得：$\overrightarrow{AF}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，
∴x+y+z=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查空間向量的線性表示，考查邏輯推理能力與空間想象能力，考查轉(zhuǎn)換思想和數(shù)形結合，屬于中檔題．