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3.已知函數(shù)f(x)=xex-axlnx(a∈R)在x=1處的切線方程為y=bx+1+1e(b∈R).
(1)求a,b的值;
(2)證明:f(x)<2e
(3)若正實數(shù)m,n滿足mn=1,證明:1em1+1en1<2(m+n).

分析 (1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),可得斜率,解方程可得a,b;
(2)由題意可得即證xex-2e<xlnx,令g(x)=xex-2e,求出導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間,可得最大值;又令h(x)=xlnx,求出最小值,即可得證;
(3)由(2)可得mem-mlnm<2e,即1em-lnm<2em,兩邊乘以e,可得一不等式,同理可得,1en1-elnn<2n,兩式相加結(jié)合條件,即可得證.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=xex-axlnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1xex-alnx-a,
由題意可得f′(1)=b=-a,f(1)=1e=b+1+1e,
解得a=1,b=-1;
(2)證明:f(x)=xex-xlnx<2e,即為xex-2e<xlnx,
令g(x)=xex-2e,g′(x)=1xex,
則g(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減,
g(x)的最大值為g(1)=-1e,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.
又令h(x)=xlnx,則h′(x)=1+lnx,
則h(x)在(0,1e)遞減,在(1e,+∞)遞增,
則h(x)的最小值為h(1e)=-1e,當(dāng)且僅當(dāng)x=1e等號成立,
因此xex-2e<xlnx,即f(x)<2e;
(3)證明:由(2)可得mem-mlnm<2e,即1em-lnm<2em,
兩邊同乘以e,可得1em1-elnm<2m,
同理可得,1en1-elnn<2n,
兩式相加,可得:1em+1en<e(lnm+lnn)+2(m+n)=elnmn+2m+nmn=2(m+n).
1em+1en<2(m+n).

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間,極值和最值,考查不等式的證明,注意運用不等式的性質(zhì)和構(gòu)造函數(shù)法,考查運算能力,屬于中檔題.

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