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在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD
都垂直于平面ABC，且BE=AB=2CD=2，點F是AE的中點．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求面BDF與面ABC所成的角余弦值．

解：（1）取AB中點G，連GF，CF，則FG是△ABE的中位線，FG∥EB，
且FG=EB．由BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2CD=2 知，CD∥EB，
CD=EB．∴FG和CD平行且相等，故四邊形CDFG為平行四邊形．
∴DF∥CG，而CG在平面ABC內，DF不在平面ABC內，故DF∥平面ABC．
（2）：過B作BM平行于CG，則BM為這兩個平面的交線，過G作GN⊥BM，
垂足為N，連接FN，則∠FNG為所求二面角的平面角．
NG 等于B到CG的距離，等于 ，FG==1，
Rt△FGN中，tan∠FNG==．
分析：（1）取AB中點G，證明 FG和CD平行且相等，得到四邊形CDFG為平行四邊形，可得DF∥CG，即可證得DF∥平面ABC．
（2）過B作BM平行于CG，過G作GN⊥BM，∠FNG為所求二面角的平面角，面積法求出B到CG的距離，即NG 的值，
FG=，Rt△FGN中，可求出tan∠FNG 的值．
點評：本題考查證明先面平行的方法，求二面角的平面角的大小，找出二面角的平面角是解題的難點和關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點F是AE的中點．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求二面角F-BD-A的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網在幾何體ABCDE中，∠BAC=
π2
，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中點，AB=AC=BE=2，CD=1
（1）求證：DC∥平面ABE；
（2）求證：AF⊥平面BCDE；
（3）求證：平面AFD⊥平面AFE．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在幾何體ABCDE中，∠BAC=
π2
，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1．
（1）設平面ABE與平面ACD的交線為直線l，求證：l∥平面BCDE；
（2）設F是BC的中點，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求幾何體ABCDE的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在幾何體ABCDE中，∠BAC=
π2
，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中點，AB=AC=BE=2，CD=1．
（I）求證：DC∥平面ABE；
（II）求證：AF⊥平面BCDE；
（III）求幾何體ABCDE的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•合肥二模）如圖，在幾何體ABCDE中，AB=AD=2，AB丄AD，AD丄平面ABE．M為線段BD的中點，MC∥AE，AE=MC=
2

（I）求證：平面BCE丄平面CDE；
（II）若N為線段DE的中點，求證：平面AMN∥平面BEC．

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