Question

【題目】【2018屆天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考】已知橢圓的一個焦點在直線上，且離心率.

（1）求該橢圓的方程；

（2）若與是該橢圓上不同的兩點，且線段的中點在直線上，試證： 軸上存在定點，對于所有滿足條件的與，恒有；

（3）在（2）的條件下， 能否為等腰直角三角形？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析： 利用橢圓的性質(zhì)，離心率計算公式及即可求出；

⑵分直線的斜率存在與不存在兩種情況： 斜率存在時，設(shè)出其方程，與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于斜率的方程式，從而得到坐標間的關(guān)系式。假設(shè)軸上存在定點，對于所有滿足條件的，恒有，得到點的坐標，即證命題存在；當直線的斜率不存在時，易知成立，命題得證；

⑶分類討論，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和兩點間的距離關(guān)系及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得到滿足條件的直線斜率存在即可；

解析：（1）∵橢圓的一個焦點在直線上，∴，

又，∴，

∴該橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

，

，

設(shè)，則， ，

∵弦的中點在直線上，∴ ，

∴ ，∴，

將代入得，

假設(shè)在軸上存在定點， ，

∴ ，

∴ ，即，

當直線的斜率不存在時，直線垂直于軸，此時顯然成立，綜上， 軸上存在定點.

（3）假設(shè)能為等腰直角三角形，則，

∴，

，

，

又，

∴ ，

，符合（*），

∴在（2）的條件下， 能為等腰直角三角形.