精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
．設函數，x∈R，
其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）對于區(qū)間[-1，1]中的某個t，是否存在實數a，使得不等式g（t）≤成立？如果存在，求出這樣的a及其對應的t；如果不存在，請說明理由．
【答案】分析：（1）利用三角函數轉換公式化簡f（x），在用配方法得出函數的最簡式，即可得出函數g（x）的表達式
（2）求出g（x）的導數，畫出表格判斷函數的單調性即可求出函數的最值，g（t）≤成立，即≥g（t）的最大值，求出a的范圍．
解答：解：（1）=sin2x-1-2tsinx+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+t2+4t3-3t+3=（sinx-t）2+4t3-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故當sinx=t時，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我們有g'（t）=12t2-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：
t（-1，-）-（-，）（，1）
g'（t）+-+
G（t）↗極大值g（-）↘極小值g（）↗
由此可見，g（t）在區(qū)間（-1，-）和（，1）單調增加，在區(qū)間（-，）單調減小，極小值為g（）=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值為2
注意到：對任意的實數a，=∈[-2，2]
當且僅當a=1時，=2，對應的t=-1或，
故當t=-1或時，這樣的a存在，且a=1，使得g（t）≥成立．
而當t∈（-1，1]且t≠時，這樣的a不存在．
點評：該題考查函數的求導，以及利用函數的導數判斷函數的單調性進而求出函數的最值，還考查了三角函數的公式的利用，以及恒成立問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=(2-a)lnx+
1
x
+2ax；（a∈R）．
（1）當a=0時，求f（x）的極值．（2）當a≠0時，求f（x）的單調區(qū)間．（3）當a=2時，對于任意正整數n，在區(qū)間[
1
2
，6+n+
1
n
]上總存在m+4個數a1，a2，a3，…，am，am+1，am+2，am+3，am+4，使得f（a1）+f（a2）+…+f（am）＜f（am+1）+f（am+2）+f（am+3）+f（am+4）成立，試問：正整數m是否有最大值？若有求其最大值；否則，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=log2(
1+x
1-ax
)（a∈R），若f(-
1
3
)=-1．
（1）求f（x）解析式并判斷其奇偶性；
（2）當x∈[-1，0）時，求f（3x）的值域；
（3）g(x)=log
2
1+x
k
，若x∈[
1
2
，
2
3
]時，f（x）≤g（x）有解，求實數k取值集合．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數g（x）=
3
4
-
1
2
sinxcosx-
3
2
sin2x，將其圖象向左移
π
4
個單位，并向上移
1
2
個單位，得到函數f(x)=acos2(x+φ)+b(a＞0，b∈R，|φ|≤
π
2
)的圖象．
（1）求實數a，b，φ的值；
（2）設函數φ（x）=g（x）-
3
f(x)，x∈[0，
π
2
]，求函數φ（x）的單調遞增區(qū)間和最值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a，b是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根，函數f(x)=
2x-k
x2+1
的定義域為[a，b]．
（1）當k=0時，求函數f（x）的值域；
（2）證明：函數f（x）在其定義域[a，b]上是增函數；
（3）在（1）的條件下，設函數g(x)=x3-3m2x+
3
5
 (-
1
2
≤x≤
1
2
， 0＜m＜
1
2
)，若對任意的x1∈[-
1
2
，
1
2
]，總存在x2∈[-
1
2
，
1
2
]，使得f（x2）=g（x1）成立，求實數m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=px-
p
x
-2lnx，p∈R．
（ I）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（ II） 若函數f（x）在其定義域內為增函數，求正實數p的取值范圍；
（ III）設函數g(x)=f(x)+
2p+2
x
，求函數g（x）的單調區(qū)間．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案