Question

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE.

(1)求證：AE⊥平面BCE；(2)求二面角B-AC-E的大小；(3)求點D到平面ACE的距離.

Answer 1

解法一：(1)證明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE.

∵二面角DABE為直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE.

∴CB⊥AE.

∴AE⊥平面BCE.

(2)連結BD交AC于G，連結FG，

∵正方形ABCD邊長為2，

∴BG⊥AC,BG=.

∵BF⊥平面ACE，

由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC,

∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角.

由(1)AE⊥平面BCE，

又∵AE=EB,

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.

又∵直角△BCE中，,BF=,

∴直角△BFG中，sin∠BGF=.

∴二面角B-AC-E等于arcsin.

(3)過點E作EO⊥AB交AB于點O，OE=1.

∵二面角D-AB-E為直二面角，

∴EO⊥平面ABCD.

設D到平面ACE的距離為h,

∵V_D―ACE=V_E―ACD,

∴

∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC.

∴h=.

∴點D到平面ACE的距離為.

解法二：(1)同解法一.

(2)以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點且平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系O―xyz,如圖.

∵AE⊥面BCE，BE面BCE，

∴AE⊥BE.

在Rt△AEB中，AB=2，O為AB的中點，∴OE=1.

∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).

=(1,1,0),=(0,2,2).

設平面AEC的一個法向量為n=(x, y, z),

則即解得

令x=1,得n=(1,-1,1)是平面AEC的一個法向量.

又平面BAC的一個法向量為m=(1,0,0),

∴cos〈m,n〉=.

∴二面角B-AC-E的大小為arccos.

(3)∵AD∥z軸，AD=2，

∴=(0,0,2).

∴點D到平面ACE的距離

d=|||cos〈,n〉|=

.