Question

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，長(zhǎng)度為b（b為定值且b＜a）的線段EF在面對(duì)角線A₁C₁上滑動(dòng)，G是棱BB₁上的動(dòng)點(diǎn)（G不與端點(diǎn)B₁、B重合），下列四個(gè)判斷：
①三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面積的一半；
②三棱錐B₁-DEF的體積不變；
③三棱錐G-ADD₁的體積等于三棱錐B-A₁AD₁的體積；
④正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的表面積是3πa²．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．4個(gè)

B．3個(gè)

C．2個(gè)

D．1個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，以及幾何體表面積、體積公式，結(jié)合等面積、等體積轉(zhuǎn)化的方法，逐一考察各選項(xiàng)，作出判斷．

解答：①錯(cuò)． 將正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 沿對(duì)角面ACC₁A₁切割，可分成兩個(gè)全等的三棱柱，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁與三棱柱ADC-A₁D₁C₁的，各自的體積為正方體的一半，但表面積是正方體表面積一半再加上截面ACC₁A₁的面積．
②對(duì)．V _B1-DEF=V _D-B1EF，底面△B₁EF的面積保持不變，頂點(diǎn)D到底面△B₁EF的距離為棱長(zhǎng)a，也不變．所以體積不變．                             
③對(duì)．  由正方體的結(jié)構(gòu)特征，GB∥面ADD₁A₁，G、B到面ADD₁A₁的距離相等，即為棱長(zhǎng)a．
三棱錐G-ADD₁和三棱錐B-A₁AD₁中由相等的底面：S_△ADD1=S_△A1AD1，有相等的高a，故三棱錐G-ADD₁的體積等于三棱錐B-A₁AD₁的體積．
④對(duì)． 正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的直徑即為體對(duì)角線AC₁，半徑長(zhǎng)r=

1

2

AC₁=

3

2

a，表面積S=4πr²=3πa²．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體表面積、體積的度量，等面積、等體積轉(zhuǎn)化的方法．