Question

20．某紡紗廠生產甲、乙兩種棉紗，已知生產甲種棉紗1噸需消耗一級子棉2噸、二級子棉1噸；生產乙種棉紗1噸需消耗一級子棉1噸、二級子棉2噸，每噸甲種、乙種棉紗的利潤分別是900元和600元，工廠在生產中要求消耗一級子棉不超過300噸、二級子棉不超過270噸，且甲種棉紗的產量不能超過乙種棉紗的產量60噸．
（Ⅰ）請列出符合題意的不等式組及目標函數；
（Ⅱ）甲、乙兩種棉紗應各生產多少噸，才能獲得最大利潤？并求出最大利潤．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設設生產甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤總額為z元，根據題意抽象出x，y滿足的條件，建立約束條件．
（Ⅱ）作出可行域，再根據目標函數z=900x+600y，利用截距模型，平移直線找到最優(yōu)解，即可．

解答 解：（Ⅰ）設生產甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤總額為z元，
則$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤300}\\{x+2y≤270}\\{x-y≤60}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$
z=900x+600y．
（Ⅱ）作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖），即可行域．
由z=900x+600y得y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{600}$，
平移直線y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{600}$，由圖象知當直線y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{600}$經過點A時，直線的截距最大，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=300}\\{x+2y=270}\end{array}\right.$，解得A的坐標為（110，80）．
因此，當x=110，y=80時，z取得最大值．此時z=900×110+600×80=147000．
答：應生產甲種棉110噸，乙種棉紗80噸，能使利潤總額達到最大，最大利潤總額為14.7萬元．

點評 本題主要考查用線性規(guī)劃解決實際問題中的最值問題，基本思路是抽象約束條件，作出可行域，利用目標函數的類型，找到最優(yōu)解．屬中檔題．