分析 函數(shù)f(x)=x3-mx,x∈R,若方程f(x)=2在x∈[-4,4]恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則g(x)=x3-mx-2在x∈[-4,4]恰有3個(gè)不同的零點(diǎn),進(jìn)而求出函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),根據(jù)極大值為正,極小值為負(fù),g(-4)不大于0,g(4)不小于0,可得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答 解:∵函數(shù)f(x)=x3-mx,x∈R,若方程f(x)=2在x∈[-4,4]恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,
∴g(x)=x3-mx-2在x∈[-4,4]恰有3個(gè)不同的零點(diǎn),
g′(x)=3x2-m=0時(shí),x=±√m3,
故m>0,且√m3<4,即0<m<48,
且{g(−4)≤0g(−m3)>0g(m3)<0g(4)≥0,即{−66+4m≤02m9√3m−2>0−2m9√3m−2<062−4m≥0,
解得:m∈(3,312],
故答案為:(3,312].
點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,熟練掌握方程根與對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.
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