精英家教網設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,上頂點為A,過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q,且2
F1F2
+
F2Q
=
0

(1)求橢圓C的離心率;
(2)若過A、Q、F2三點的圓恰好與直線l:x-
3
y-3=0
相切,求橢圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點,在x軸上是否存在點P(m,0)使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出m的取值范圍,如果不存在,說明理由.
分析:(1)設Q(x0,0),由F2(c,0),A(0,b)結合向量條件及向量運算得出關于a,c的等式,從而求得橢圓的離心率即可;
(2)由(1)知a,c的一個方程,再利用△AQF的外接圓得出另一個方程,解這兩個方程組成的方程組即可求得所求橢圓方程;
(3)由(Ⅱ)知直線l:y=k(x-1),將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關于x的一元二次方程,再結合根系數(shù)的關系利用弦長公式即可求得滿足題意的點P且m的取值范圍.
解答:解:(1)設Q(x0,0),由F2(c,0),A(0,b)
F2A
=(-c,b),
AQ
=(x0,-b)

F2A
AQ
,∴-cx0-b2=0,x0=-
b2
c
,
由于2
F1F2
+
F2Q
=
0
即F1為F2Q中點.
-
b2
c
+c=-2c
∴b2=3c2=a2-c2,
故橢圓的離心率e=
1
2
,(3分)
(2)由(1)知
c
a
=
1
2
,得c=
1
2
a
于是F2
1
2
a,0)Q(-
3
2
a,0)
,
△AQF的外接圓圓心為(-
1
2
a,0),半徑r=
1
2
|FQ|=a
所以
|-
1
2
a-3|
2
=a
,解得a=2,∴c=1,b=
3
,
所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1
,(6分)
(3)由(Ⅱ)知F2(1,0)l:y=k(x-1)
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1

代入得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0
設M(x1,y1),N(x2,y2
x1+x2=
8k2
3+4k2
,y1+y2=k(x1+x2-2),(8分)
PM
+
PN
=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)
=(x1+x2-2m,y1+y2
由于菱形對角線垂直,則(
PM
+
PN
)•
MN
=0

故k(y1+y2)+x1+x2-2m=0
則k2(x1+x2-2)+x1+x2-2m=0k2(
8k2
3+4k2
-2)
+
8k2
3+4k2
-2m=0
(10分)
由已知條件知k≠0且k∈R∴m=
k2
3+4k2
=
1
3
k2
+4
0<m<
1
4

故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是0<m<
1
4
.(12分)
點評:當直線與圓錐曲線相交時   涉及弦長問題,常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(即應用弦長公式);涉及弦長的中點問題,常用“點差法”設而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來,相互轉化   同時還應充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關系靈活轉化,往往就能事半功倍.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>1)右焦點為F,它與直線l:y=k(x+1)相交于P、Q兩點,l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d,若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項.
(1)求橢圓離心率e;
(2)設N與M關于原點O對稱,若以N為圓心,b為半徑的圓與l相切,且
OP
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左.右焦點分別為F1F2,上頂點為A,過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q,且2
F1F2
+
F2Q
=
0

(1)若過A.Q.F2三點的圓恰好與直線l:x-
3
y-3=0相切,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M.N兩點.試證明:
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值;②在x軸上是否存在點P(m,0)使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出m的取值范圍,如果不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•鹽城一模)設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
恒過定點A(1,2),則橢圓的中心到準線的距離的最小值
5
+2
5
+2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,若P 是橢圓上的一點,|
PF1
|+|
PF2
|=4
,離心率e=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)若P 是第一象限內該橢圓上的一點,
PF1
PF2
=-
5
4
,求點P的坐標;
(3)設過定點P(0,2)的直線與橢圓交于不同的兩點A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點),求直線l的斜率k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為e=
2
2
,以F1為圓心,|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0
相切.
(I)求橢圓C的方程;
(II)直線y=x交橢圓C于A、B兩點,D為橢圓上異于A、B的點,求△ABD面積的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案