Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=在[1，e]上是最小值為，求a的值；
（Ⅲ）當b＞0時，求證：（其中e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=lnx+1（x＞0）
令f′（x）≥0，即lnx≥-1，∴x；令f′（x）≤0，即lnx≤-1，∴0＜x；
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，]
∴f（x）_min=f（）=-
（Ⅱ）解：F（x）==，求導(dǎo)函數(shù)可得F′（x）=
當a≥0時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）_min=-a=，∴a=-∉[0，+∞），舍去；
當a＜0時，F(xiàn)（x）在（0，-a）單調(diào)遞減，在（-a，+∞）單調(diào)遞增
若a∈（-1，0），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）_min=-a=，∴a=-∉（-1，0），舍去；
若a∈[-e，-1]，F(xiàn)（x）在（1，-a）單調(diào)遞減，在（-a，e）單調(diào)遞增，
∴F（x）_min=F（-a）=ln（-a）+1=，∴a=-∈[-e，-1]；
若a∈（-∞，-1），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，∴F（x）_min=F（e）=-∉（-∞，-1），舍去；
綜上所述：a=-
（Ⅲ）證明：由（I）可知當b＞0時，有f（b）≥f（x）_min=f（）=-，∴，
即．
∴
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）≥0，確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令f′（x）≤0，確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，從而可求函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）F（x）==，求導(dǎo)函數(shù)可得F′（x）=，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)在[1，e]上是最小值為，可求a的值；
（Ⅲ）由（I）可知當b＞0時，有f（b）≥f（x）_min=f（）=-，所以，從而可知結(jié)論成立．
點評：本試題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求函數(shù)的最值，以及結(jié)合不等式的知識證明不等式的成立．解決該試題的關(guān)鍵是第一問能利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)a的值，并能利用第一問來遞進式解決第二問．