Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，n∈N^*，且a₅+a₆=24，S₃=15．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₅+a₆=24，S₃=15．
∴2a₁+9d=24，3a₁+3d=15，
解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．