Question

已知橢圓C：，直線l過(guò)點(diǎn)M（m，0）．
（Ⅰ）若直線l交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)m=-1時(shí)，MN中點(diǎn)恰在橢圓C上，求直線l的方程；
（Ⅱ）如圖，若直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)m=-4時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)p，使得△PAB為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)p坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)N（0，n），則MN的中點(diǎn)為（-，），
∴=1，解得n=，
所以直線l的方程為：y=±（x+1）．
（Ⅱ）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)P，使得△PAB為等邊三角形．
設(shè)直線l為x=ty-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，∴（3t²+4）y²-24ty+36=0，
∴y₁+y₂=，，△=144（t²-4）＞0，
∴AB中點(diǎn)為（，），
∴AB的中垂線為：y-=-t（x+），
∴點(diǎn)P為（-，0），∴P到直線l的距離d==，
∵|AB|=，
∴=，
∴t=±，
∴存在點(diǎn)P為（-，0）．
分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)N（0，n），表示出MN中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得n值，從而可得直線方程；
（Ⅱ）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)P，使得△PAB為等邊三角形．設(shè)直線l為x=ty-4，寫(xiě)出AB中垂線方程，進(jìn)而得到P點(diǎn)坐標(biāo)，表示出P到直線l的距離d，據(jù)弦長(zhǎng)公式求出|AB|，則有d=•|AB|
，解出即可，注意要保證直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即直線與橢圓方程聯(lián)立消元后△＞0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、直線方程，考查學(xué)生的運(yùn)算變形能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．