Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣ ．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）方程2tf（4t）﹣mf（2t）=0，當t∈[1，2]時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則：

= ；

∵x1，x2＞0，且x1＜x2；

∴x1﹣x2＜0， ；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)

（2）解：根據(jù)解析式f（x）=x﹣ ，原方程變成： ；

整理得，（22t）2﹣m22t+m﹣1=0；

∴（22t﹣1）[22t﹣（m﹣1）]=0 ①；

∵t∈[1，2]；

∴22t∈[4，16]；

∴22t﹣1＞0；

∴由方程①得，22t﹣（m﹣1）=0；

∴m﹣1=22t；

∴4≤m﹣1≤16；

∴5≤m≤17；

∴實數(shù)m的取值范圍為[5，17]

【解析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義，設x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 然后通過作差證明f（x1）＜f（x2）即可；（2）求出f（4t），f（2t），所以原方程可變成（22t）2﹣m2t+m﹣1=0，該方程又可變成（22t﹣1）[22t﹣（m﹣1）]=0，可以得到4≤22t≤16，m﹣1=22t ， 所以得到4≤m﹣1≤16，解不等式即得實數(shù)m的取值范圍．
【考點精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較．