【題目】已知函數(shù),其中為實(shí)數(shù).
(1)若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
(2)若,滿足不等式成立的正整數(shù)解有且僅有一個,求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)分析當(dāng)時的單調(diào)性,可得的單調(diào)性,由二次函數(shù)的單調(diào)性,可得的范圍;
(2)分別討論當(dāng),當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值,即可得到所求范圍.
(1)由題意,當(dāng)時,為減函數(shù),
當(dāng)時,,
若時,也為減函數(shù),且,
此時函數(shù)為定義域上的減函數(shù),滿足條件;
若時,在上單調(diào)遞增,則不滿足條件.
綜上所述,.
(2)由函數(shù)的解析式,可得,
當(dāng)時,,不滿足條件;
當(dāng)時,為定義域上的減函數(shù),僅有成立,滿足條件;
當(dāng)時,在上,僅有,
對于上,的最大值為,
不存在滿足,滿足條件;
當(dāng)時,在上,不存在整數(shù)滿足,
對于上,,
不存在滿足,不滿足條件;
綜上所述,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)滿足。
(1)求證:A,B,C三點(diǎn)共線;
(2)若A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),且x∈[0, ],函數(shù)f(x)=(2m+)||+m2的最小值為5,求實(shí)數(shù)m的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形,⊥平面,為的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:∥平面;
(Ⅱ)設(shè)二面角為60°,=1,=,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,且,圓與軸交于點(diǎn),,為橢圓上的動點(diǎn),,面積最大值為.
(1)求圓與橢圓的方程;
(2)圓的切線交橢圓于點(diǎn),,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩種棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位: ) 組成一個樣本,且將纖維長度超過315的棉花定為一級棉花.設(shè)計了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)以上莖葉圖,對甲、乙兩種棉花的纖維長度作比較,寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論(不必計算);
(2)從樣本中隨機(jī)抽取甲、乙兩種棉花各2根,求其中恰有3根一級棉花的概率;
(3)用樣本估計總體,將樣本頻率視為概率,現(xiàn)從甲、乙兩種棉花中各隨機(jī)抽取1根,求其中一級棉花根數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓:,,,為平面內(nèi)一動點(diǎn),若以線段為直徑的圓與圓相切.
(1)證明為定值,并寫出點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線過交于,兩點(diǎn),過且與垂直的直線與交于,兩點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,且).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)在上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)當(dāng)時, ;當(dāng)時, .
【解析】【試題分析】(I)利用的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由此可知.利用導(dǎo)數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.
【試題解析】
(Ⅰ),
設(shè) ,則.
∵, ,∴在上單調(diào)遞增,
從而得在上單調(diào)遞增,又∵,
∴當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,
因此, 的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
由此可知.
∵, ,
∴.
設(shè),
則 .
∵當(dāng)時, ,∴在上單調(diào)遞增.
又∵,∴當(dāng)時, ;當(dāng)時, .
①當(dāng)時, ,即,這時, ;
②當(dāng)時, ,即,這時, .
綜上, 在上的最大值為:當(dāng)時, ;
當(dāng)時, .
[點(diǎn)睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn),從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關(guān)系,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,圓的普通方程為. 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
( Ⅱ ) 設(shè)直線 與軸和軸的交點(diǎn)分別為,為圓上的任意一點(diǎn),求的取值范圍.
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