精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點(diǎn)P、Q，且
AP
=
8
5
PQ
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過(guò)A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x+
3
y+3=0相切，求橢圓C的方程．
分析：（1）設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，由F，A的坐標(biāo)表示出
FA
和
AQ
，根據(jù)
FA
⊥
AQ
得出
FA
•
AQ
=0看，進(jìn)而求得x0，設(shè)P（x1，y1）根據(jù)
AP
=
8
5
PQ
求得x1和y1的表達(dá)式，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．
（2）根據(jù)（1）中a和c的關(guān)系可知F和Q的坐標(biāo)，△AQF的外接圓圓心和半徑，進(jìn)而根據(jù)
|
1
2
a+3|
2
=a求得a，進(jìn)而根據(jù)a和b，c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．
解答：解：（1）設(shè)Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知
FA
=(c，b)，
AQ
=(x0，-b)
∵
FA
⊥
AQ
，∴cx0-b2=0，x0=
b2
c

設(shè)P（x1，y1），
由
AP
=
8
5
PQ
得x1=
8b2
13c
，y1=
5
13
b
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以
(
8b2
13c
)2
a2
+
(
5
13
b)2
b2
=1
整理得2b2=3ac，即2（a2-c2）=3ac，2e2+3e-2=0，故橢圓的離心率e=
1
2
．

（2）由（1）知2b2=3ac，得
b2
c
=
3
2
a，由
c
a
=
1
2
，得c=
1
2
a
于是F（-
1
2
a，0）Q(
3
2
a，0)，
△AQF的外接圓圓心為（
1
2
a，0），半徑r=
1
2
|FQ|=a
所以
|
1
2
a+3|
2
=a，解得a=2，
∴c=1，b=
3
，
所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．解題的前提的是熟練掌握橢圓的基本性質(zhì)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點(diǎn)為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項(xiàng)．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)分別為F1F2，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過(guò)A．Q．F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點(diǎn)．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過(guò)定點(diǎn)A（1，2），則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點(diǎn)，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，D為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案