Question

【題目】如圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽，它的主題圖案由一連串如圖所示的直角三角形演化而成.設(shè)其中的第一個(gè)直角是等腰三角形，且，則，，現(xiàn)將沿翻折成，則當(dāng)四面體體積最大時(shí)，它的表面有________個(gè)直角三角形；當(dāng)時(shí)，四面體外接球的體積為________.

Answer 1

【答案】4

【解析】

當(dāng)四面體體積最大時(shí)，平面平面，由此推出，根據(jù)勾股定理可以推出，從而可得有4個(gè)直角三角形，根據(jù)，可得點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是的中點(diǎn)，且四面體的外接球的球心在直線上，根據(jù)勾股定理可求得外接球的半徑，代入體積公式可求得結(jié)果.

當(dāng)四面體體積最大時(shí)，平面平面，因?yàn)?/span>，所以根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得平面，所以，所以△為直角三角形，所以，又，，

所以，所以，所以三角形為直角三角形，

所以它的表面有4個(gè)直角三角形，

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是直角三角形的外心，

也就是的中點(diǎn)，且四面體的外接球的球心在直線上，如圖：

容易求得，設(shè)，

則在直角三角形中，由勾股定理可得，

所以，解得，

所以四面體外接球的體積為.

故答案為：（1）4 （2）