Question

1．設(shè)函數(shù) f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，b=$-\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$ax²+bx+$\frac{a}{x}$（0＜x＜3），其圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a，b的值代入f（x），求出其導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出F（x），求導(dǎo)得到$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$在（0，3）上恒成立，分離參數(shù)求出a的范圍即可；
（3）得到m=1+$\frac{lnx}{x}$，只需m=1+$\frac{lnx}{x}$在區(qū)間[1，e²]內(nèi)恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，b=$-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x，f′（x）=$\frac{-（x-2）（x+1）}{2x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，
故f（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減；
（2）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，（0＜x＜3），
則有K=F′（x）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$在（0，3）上恒成立，
∴a≥${（-{{\frac{1}{2}x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$，x₀=1時(shí)，${（-{{\frac{1}{2}x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$=$\frac{1}{2}$，
故a≥$\frac{1}{2}$；
（3）a=0，b=-1時(shí)，f（x）=lnx+x，
由f（x）=mx得lnx+x=mx，
又x＞0，∴m=1+$\frac{lnx}{x}$，
要使方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
只需m=1+$\frac{lnx}{x}$在區(qū)間[1，e²]內(nèi)恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$（x＞0），∴g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
∴g（x）在[1，e]遞增，在[e，e²]遞減，
g（1）=1，g（e²）=1+$\frac{2}{{e}^{2}}$，g（e）=1+$\frac{1}{e}$，
∴1+$\frac{2}{{e}^{2}}$≤m＜1+$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．