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13.已知函數(shù)f(x)=23sin2x+4cos2x-3
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊,且對(duì)x∈R,f(x)的最大值為f(A),若a=2,求ABAC的最大值.

分析 (1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)由條件求得A的值,利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值,可得 ABAC=bc•cosA 的最大值.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=23sin2x+4cos2x-3=23sin2x+4•1+cos2x2-3=23sin2x+2cos2x-1=4sin(2x+\frac{π}{6})-1,
令2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2},求得kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6},故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-\frac{π}{3},kπ+\frac{π}{6}],k∈Z.
(2)在△ABC中,∵f(x)=4sin(2A+\frac{π}{6})-1的最大值為f(A)=3,此時(shí),A=\frac{π}{6}
若a=2,則a2=4=b2+c2-2bc•cosA≥2bc-\sqrt{3}bc,∴bc≤\frac{4}{2-\sqrt{3}}=8+4\sqrt{3},
\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}=bc•cosA=\frac{\sqrt{3}}{2}bc的最大為\frac{\sqrt{3}}{2}•4(2+\sqrt{3})=6+4\sqrt{3}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦定理、基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.

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