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13.已知函數(shù)f(x)=23sin2x+4cos2x-3
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊,且對(duì)x∈R,f(x)的最大值為f(A),若a=2,求ABAC的最大值.

分析 (1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)由條件求得A的值,利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值,可得 ABAC=bc•cosA 的最大值.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=23sin2x+4cos2x-3=23sin2x+4•1+cos2x2-3=23sin2x+2cos2x-1=4sin(2x+π6)-1,
令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,求得kπ-π3≤x≤kπ+π6,故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z.
(2)在△ABC中,∵f(x)=4sin(2A+π6)-1的最大值為f(A)=3,此時(shí),A=π6
若a=2,則a2=4=b2+c2-2bc•cosA≥2bc-3bc,∴bc≤423=8+43,
ABAC=bc•cosA=32bc的最大為32•4(2+3)=6+43

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦定理、基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.

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