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14.已知橢圓C:2x2+y2=16.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)O為原點(diǎn),點(diǎn)A在橢圓C上,點(diǎn)B在直線x=4上,且OAOB=0,求直線AB截圓x2+y2=17所得弦長(zhǎng)為l.

分析 (1)化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)式,求出a,b的值,利用隱含條件求得c,則橢圓離心率可求;
(2)依題意設(shè)(x0,y0),B(4,t),由OAOB=0,把B的坐標(biāo)用A的坐標(biāo)表示,寫出過A、B的點(diǎn)斜式方程,由點(diǎn)到直線的距離公式求出坐標(biāo)原點(diǎn)O到AB的距離,再由垂徑定理求得直線AB截圓x2+y2=17所得弦長(zhǎng).

解答 解:(1)由橢圓C:2x2+y2=16,得x28+y216=1
a=4b=22,則c=a22=168=22
故橢圓C的離心率為e=ca=22;
(2)設(shè)A(x0,y0),B(4,t),
x028+y0216=1,①
OAOB=0,得t=4x0y0,②
根據(jù)點(diǎn)斜式得到直線AB的方程為:y-t=y0tx04x4,化簡(jiǎn)得
(y0-t)x-(x0-4)y-4y0+tx0=0.
原點(diǎn)O到AB的距離d=|4y0+tx0|y0t2+x042
將①②代入可得:d=|4y0+tx0|y0t2+x042=|4y04x0y0|y0224x0y0y0+x028x0+16
=|4y02+4x02|y04+16x02+x02y02+16y02=|2y02+32|12y02+162=22y02+16y02+16=22
在圓x2+y2=17中,利用勾股定理可得l2=17222=3
∴直線AB截圓x2+y2=17所得弦長(zhǎng)為6.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,是中檔題.

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(Ⅰ)求橢圓C的離心率;
(Ⅱ)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為332,求橢圓C的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過點(diǎn)P(-2,1)的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且點(diǎn)P恰為線段MN的中點(diǎn),求直線l的方程.

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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=k(x-1)分別交x軸,y軸于C,D兩點(diǎn),且與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若CN=MD,求k值;
(Ⅲ)自橢圓C上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P,作圓O:x2+y2=2的兩條切線切點(diǎn)分別為P1,P2,若直線P1P2在x軸,y軸上的截距分別為m,n,證明:1m2+2n2=1.

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