分析 (1)化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)式,求出a,b的值,利用隱含條件求得c,則橢圓離心率可求;
(2)依題意設(shè)(x0,y0),B(4,t),由→OA•→OB=0,把B的坐標(biāo)用A的坐標(biāo)表示,寫出過A、B的點(diǎn)斜式方程,由點(diǎn)到直線的距離公式求出坐標(biāo)原點(diǎn)O到AB的距離,再由垂徑定理求得直線AB截圓x2+y2=17所得弦長(zhǎng).
解答 解:(1)由橢圓C:2x2+y2=16,得x28+y216=1,
∴a=4,b=2√2,則c=√a2−2=√16−8=2√2.
故橢圓C的離心率為e=ca=√22;
(2)設(shè)A(x0,y0),B(4,t),
∴x028+y0216=1,①
由→OA•→OB=0,得t=4x0−y0,②
根據(jù)點(diǎn)斜式得到直線AB的方程為:y-t=y0−tx0−4(x−4),化簡(jiǎn)得
(y0-t)x-(x0-4)y-4y0+tx0=0.
原點(diǎn)O到AB的距離d=|−4y0+tx0|√(y0−t)2+(x0−4)2.
將①②代入可得:d=|−4y0+tx0|√(y0−t)2+(x0−4)2=|4y0−4x0−y0|√y02−2•4x0−y0•y0+x02−8x0+16
=|4y02+4x02|√y04+16x02+x02y02+16y02=|2y02+32|√12(y02+16)2=2√2•y02+16y02+16=2√2.
在圓x2+y2=17中,利用勾股定理可得l2=√17−(2√2)2=3.
∴直線AB截圓x2+y2=17所得弦長(zhǎng)為6.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,是中檔題.
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