Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）證明：(1+

1

9

)(1+

1

81

)…(1+

1

32n

)＜

e

(n∈N*，e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因?yàn)閒（x）在x=0時(shí)取得極值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；
（2）分三種情況：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函數(shù)的遞增區(qū)間；令f′（x）＜0得到函數(shù)的遞減區(qū)間即可；（3）由（2）知當(dāng)a=-1時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，所以得到ln（1+x²）＜x，利用這個(gè)結(jié)論根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則化簡不等式的左邊得證即可．

解答：解：（1）∵f′(x)=

2x

1+x2

+a，∵x=0使f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，則f'（0）=0，
∴a=0，驗(yàn)證知a=0符合條件．
（2）∵f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

①若a=0時(shí)，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；
②若

a＜0 △≤0

得，當(dāng)a≤-1時(shí)，f'（x）≤0對x∈R恒成立，
∴f（x）在R上單調(diào)遞減．
③若-1＜a＜0時(shí)，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0
∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

再令f'（x）＜0，可得x＞

-1- 1-a2

a

或x＜

-1+ 1-a2

a

∴f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調(diào)遞增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調(diào)遞減
綜上所述，若a≤-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
若-1＜a＜0時(shí)，f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調(diào)遞增(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調(diào)遞減；
若a=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減．
（3）由（2）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）＜f（0）=0
∴l(xiāng)n（1+x²）＜x，∴l(xiāng)n[（1+

1

9

）（1+

1

81

）…（1+

1

32n

）]=ln（1+

1

9

）+ln（1+

1

81

）+…+ln（1+

1

32n

）
＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

（1-

1

3n

）＜

1

2

，∴（1+

1

9

）（1+

1

81

）…（1+

1

32n

）＜e

1

2

=

e

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會利用單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)運(yùn)算證明不等式．會求等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和．以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力．