Question

已知sin2α-

sin4β

cos2γ

=

cos4β

sin2γ

-cos2α
（1）求證：sin²β=cos²γ；
（2）探求角β，γ的關(guān)系．

Answer 1

證明：（1）∵sin2α-

sin4β

cos2γ

=

cos4β

sin2γ

-cos2α，∴

sin4β

cos2γ

+

cos4β

sin2γ

=1，
∵sin⁴βsin²γ+cos⁴βcos²γ=cos²γsin²γ，
∴sin²γcos²γsin⁴β（1-cos²γ）+（1-sin²β）²cos²γ=0
（1-cos²γ）cos²γsin⁴β-2sin²βcos²γ+cos⁴γ=0
∴（sin²β-cos²γ）²=0，即sin²β=cos²γ．
（2）由（1）知有兩種情況，
當(dāng)sinβ=cosγ=sin(

π

2

-γ)時(shí)，則β±γ=

π

2

+2kπ(k∈Z)，
當(dāng)sinβ=-cosγ=sin(γ-

π

2

)時(shí)，有β±γ=-

π

2

+2kπ(k∈Z)．