Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF=2，∠BFC=90°，BF=FC，H為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：FH∥平面EDB；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面EDB；
（Ⅲ）求二面角B-DE-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：證明FH⊥平面ABC．以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，

HB

為x軸正向，

HF

為z軸正向，建立如圖所示坐標(biāo)系．求出A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
（Ⅰ）利用向量共線證明FH∥平面EDB；
（Ⅱ）利用空間向量的數(shù)量積，以及直線與平面垂直的判定定理證明AC⊥平面EDB；
（Ⅲ）求出平面BDE的法向量為

n1

，平面CDE的法向量為

n2

，利用空間向量的數(shù)量積即可求二面角B-DE-C的大�。�

解答： 證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥BC．
又EF∥AB，∴EF⊥BC．
又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．∴EF⊥FH，∴AB⊥FH．
又BF=FC，H為BC的中點(diǎn)，∴FH⊥BC，
∴FH⊥平面ABC．---（2分）

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，

HB

為x軸正向，

HF

為z軸正向，建立如圖所示坐標(biāo)系．
則A（1，-2，0），B（1，0，0），C（-1，0，0），D（-1，-2，0），E（0，-1，1），F(xiàn)（0，0，1）．
（Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G，連GE，GH，則G（0，-1，0），
∴

GE

=（0，0，1），又

HF

=（0，0，1）∴

HF

∥

GE

．
GE?平面EDB，HF不在平面EDB內(nèi)，∴FH∥平面EBD．---（5分）
（Ⅱ）證明：

AC

=（-2，2，0），

GE

=（0，0，1），

AC

•

GE

=0，∴AC⊥GE．
又AC⊥BD，EG∩BD=G，∴AC⊥平面EDB．---（8分）
（Ⅲ）解：

BE

=（-1，-1，1），

BD

=（-2，-2，0）．
設(shè)平面BDE的法向量為

n1

=（1，y₁，z₁），
則

BE

•

n1

=-1-y₁+z₁=0，

BD

•

n1

=-2-2y₁=0，
∴y₁=-1，z₁=0，即

n1

=（1，-1，0）．

CD

=（0，-2，0），

CE

=（1，-1，1）．設(shè)平面CDE的法向量為

n2

=（1，y₂，z₂），
則

n2

•

CD

=0，y₂=0，

n2

•

CE

=0，1-y₂+z₂=0，z₂=-1，故

n2

=（1，0，-1），
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

2 • 2

=

1

2

，
∴＜

n1

，

n2

＞=60°，可得二面角B-DE-C為60°．---（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，直線與平面的平行與垂直，二面角的大小的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．