設(shè)0＜α＜
π
2
，a是大于0的常數(shù)，函數(shù)F（α）=
1
cosα
+
a
1-cosα
，若F（α）≥16恒成立，則a的取值范圍是（　�。�
A、[1，+∞）
B、[4，+∞）
C、（9，+∞）
D、[9，+∞）
考點：三角函數(shù)恒等式的證明
專題：三角函數(shù)的求值
分析：依題意知，cosα＞0，1-cosα＞0，又cosα+（1-cosα）=1，a＞0，利用基本不等式可得F（α）=
1
cosα
+
a
1-cosα
=
(1-cosα)+cosα
cosα
+
a[(1-cosα)+cosα]
1-cosα
=1+a+
1-cosα
cosα
+
acosα
1-cosα
≥1+a+2
a
，解不等式1+a+2
a
≥16即可求得答案．
解答： 解：∵0＜α＜
π
2
，
∴cosα＞0，1-cosα＞0；
又cosα+（1-cosα）=1，a＞0，
∴F（α）=
1
cosα
+
a
1-cosα
=
(1-cosα)+cosα
cosα
+
a[(1-cosα)+cosα]
1-cosα
=1+a+
1-cosα
cosα
+
acosα
1-cosα
≥1+a+2
1-cosα
cosα
•
acosα
1-cosα
=1+a+2
a
，
∴F（α）min=1+a+2
a
，又F（α）≥16恒成立，
∴1+a+2
a
≥16，
解得：
a
≥3或
a
≤-5（舍去），
∴a≥9．
故選：D．
點評：本題考查恒成立問題，著重考查基本不等式的應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}，對任何正整數(shù)n都有：a1•1+a2•2+a3•22+…+an•2n-1=（n-1）•2n+1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）①若λ≥
7an-2
2an
（n∈N+）恒成立，求實數(shù)λ的范圍；
②若數(shù)列{bn}滿足bn=|（-1）n•2an+7-2an|，求數(shù)列{bn}的前項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若復(fù)數(shù)z=（a2-3）-（a+
3
）i，（a∈R）為純虛數(shù)，則
a+i2007
3-
3
i
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合M={x|x2-2x＜0}，N={x||x|≤1}，則M∩N=（　�。�
A、[-1，0）
B、（-2，-1]
C、（0，1]
D、（0，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若sinθ+cosθ=
2
，則tan（θ+
π
3
）的值是（　�。�
A、1
B、-
3
-2
C、-1+
3
D、-
2
-3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0且an+1=
1
2-an
．n∈N*．
（1）求證數(shù)列{
1
1-an
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=
1-
an+1
n
，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，證明：Sn＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

向量
a
=（-1，1），
b
=（x，2），若（
a
-
b
）⊥
a
，則
a
，
b
的夾角為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

從3月1日起300天內(nèi)，草莓的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式f（t）=
-t+300，0≤t≤200
2t-300，200＜t≤300
，種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系是g（t）=
1
200
（t-150）2+100，（0≤t≤300）．若認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的草莓純收益最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}中，a1，a4025是函數(shù)f（x）=
1
3
x3-3x2+5x+1的兩個極值點，則2a2013值為（　�。�
A、32B、16C、8D、4

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同步練習(xí)冊答案