求證：函數(shù)y＝x2－4x＋3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

答案：
解析：

　　證明：[方法1]考察二次方程2x2＋3x－7＝0．因?yàn)?FONT FACE="Times New Roman">Δ＝(－4)2－4×1×3＝16－12＝4＞0，

　　所以方程x2－4x＋3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根．因此，二次函數(shù)y＝2x2＋3x－7有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

　　[方法2]設(shè)f(x)＝x2－4x＋3，如圖，函數(shù)的圖象是一個(gè)開口向上的拋物線，且f(2)＝22－2×4＋3＝－1＜0，

　　所以函數(shù)的圖象必與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)y＝x2－4x＋3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

　　[方法3]由二次函數(shù)的性質(zhì)，知

　　函數(shù)在(0，2)上是減函數(shù)，在(2，4)上是增函數(shù)，且

　　f(0)＝3＞0，f(2)＝－1＜0，f(4)＝3＞0，

　　所以函數(shù)的圖象必與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

　　即函數(shù)y＝x2－4x＋3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

　　思路分析：一可利用判斷法來證明；二可利用二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)情況證明．


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對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y＝f(x)，如果存在區(qū)間[m，n]D，同時(shí)滿足：

①f(x)在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；

②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f(x)的值域也是[m，n]．

則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

(1)證明：[0，1]是函數(shù)y＝f(x)＝x2的一個(gè)“和諧區(qū)間”．

(2)求證：函數(shù)y＝g(x)＝3－不存在“和諧區(qū)間”．

(3)已知函數(shù)(a∈R，a≠0)有“和諧區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時(shí)，求出n－m的最大值．

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已知函數(shù)y＝x2－4px－2的圖象經(jīng)過兩個(gè)不同點(diǎn)(tanα，1)，(tanβ，1)，且α＋β≠kπ．求證：2cos2α·cos2β＋psin2(α＋β)＋2sin2(α－β)＝2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：陜西省師大附中2009屆高三第二次模擬考試(數(shù)學(xué)) 題型：047

(理)在xoy平面上有一系列的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P(xn，yn)，對(duì)于正整數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)y＝x2(x≥0)的圖象上，以點(diǎn)Pn為圓心的⊙Pn與x軸都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1又彼此外切，若x1＝1，且xn+1＜xn．

(1)求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；

(2)設(shè)⊙Pn的面積為Sn，，求證：Tn＜

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(diǎn)(，an+1)(n∈N*）在函數(shù)y＝x2＋1的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若列數(shù)｛bn｝滿足b1＝1,bn+1＝bn＋2an，求證：bn        ·bn+2＜b2n+1.

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