Question

已知集合M={f（x）|y=f（x）}，其元素f（x）須同時滿足下列三個條件：
①定義域為（-1，1）；
②對于任意的x，y∈（-1，1），均有；
③當x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）∈M，證明：y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)，判斷是否有h（x）∈M，說明理由；
（Ⅲ）若f（x）∈M且，求函數(shù)的所有零點．

Answer 1

【答案】分析：（I）令x=y=O，由已知可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，進而根據(jù)奇函數(shù)的定義可得y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域，并驗證條件①②③是否成立，進而根據(jù)集合M的定義判斷h（x）∈M是否成立；
（III）根據(jù)已知分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以分析出函數(shù)在定義域上至多有一個零點，結(jié)合可求出該零點．
解答：證明：（I）若函數(shù)f（x）∈M，
則函數(shù)的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱
令x=y=O，則由得f（0）+f（0）=f（0）
即f（0）=0
令y=-x
則f（x）+f（-x）=f（0）=0
即y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）h（x）∈M，理由如下：
函數(shù)的定義域為（-1，1），滿足條件①
且==
==
故h（x）+h（y）=，滿足條件②
當-1＜x＜0時，，此時h（x）＞0，滿足條件③
故h（x）∈M
（III）令-1＜x＜y＜1，則x-y＜0，1-xy＞0，則
由及（1）可得
又∵當x＜0時，f（x）＞0
∴＞0
即f（x）＞f（y）
故f（x）在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，故函數(shù)至多有一個零點
∵，∴
又∵當x=y=2-時，
∴，此時=0
故函數(shù)的零點為2-
點評：本題是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，同時又有一個比較難理解的新定義集合M，且（III）中函數(shù)零點的求法難度也比較大．