Question

3．四面體有一條棱長為x，其余棱長為4．當四面體體積最大時，其外接球的表面積為$\frac{80}{3}$π．

Answer 1

分析 判斷幾何體體積最大時的結構特征，然后利用四面體的結構特征，求解球的半徑．

解答 解：△ABC和△BCD都是邊長為4的正三角形三棱錐的體積的最大值，是A到底面的距離最大時取得，就是側面ABC與底面BCD垂直時取得最大值，
此時△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長為4，底邊長為x，
∵設E，P為BC，AD的中點，
∴可以判斷三角形AED為等腰直角三角形，
∴AE=$2\sqrt{3}$，BE=2，
AD=$\sqrt{2}AE$=2$\sqrt{6}$，PE=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{6}$，
∵根據幾何體的結構特征得出外接球的球心O在EP上，
∴設OE=h，
OP=$\sqrt{6}$-h，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{R}^{2}={2}^{2}+{h}^{2}}\\{{R}^{2}=（\sqrt{6}-h）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}\end{array}\right.$，
即h=$\frac{4}{\sqrt{6}}$，R²=$\frac{20}{3}$，
其外接球的表面積為：4πR²=$\frac{80π}{3}$，
故答案為：$\frac{80π}{3}$．

點評 本題考查了空間幾何體體積和表面積，考查了學生的空間想象能力和數(shù)學轉化能力，此題是中檔題