Question

【題目】如圖四棱錐E﹣ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，△BCE為等邊三角形，△ABE是以∠A為直角的等腰直角三角形，且AC=BC． （Ⅰ）證明：平面ABE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：設(shè)O為BE的中點，連接AO與CO， 則AO⊥BE，CO⊥BE．
設(shè)AC=BC=2，則AO=1， ，AO2+CO2=AC2 ，
∠AOC=90°，所以AO⊥CO，
故平面ABE⊥平面BCE．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AO，BE，CO兩兩互相垂直．OE的方向為x軸正方向，OE為單位長，
以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，
則A（0，0，1），E（1，0，0）， ，B（﹣1，0，0）， ，
所以 ， ， ，
， ，
設(shè) =（x，y，z）是平面ADE的法向量，則 ，即 所以 ，
設(shè) 是平面DEC的法向量，則 ，同理可取 ，
則 = ，所以二面角A﹣DE﹣C的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）設(shè)O為BE的中點，連接AO與CO，說明AO⊥BE，CO⊥BE．證明AO⊥CO，然后證明平面ABE⊥平面BCE．（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，平面ADE的法向量，平面DEC的法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角A﹣DE﹣C的余弦值．