Question

4．已知點F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，且滿足|PF₂|=|F₁F₂|，∠F₁F₂P=120°，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 運用余弦定理可得|PF₁|=2$\sqrt{3}$c，再由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，即為2$\sqrt{3}$c-2c=2a，運用離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，∠PF₂F₁=120°，
即有|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²-2|PF₂|•|F₁F₂|cos∠PF₂F₁
=4c²+4c²-2•4c²•（-$\frac{1}{2}$）
=12c²，即有|PF₁|=2$\sqrt{3}$c，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，即為2$\sqrt{3}$c-2c=2a，
即有c=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$a，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用余弦定理和雙曲線的定義，考查運算能力，屬于中檔題．