已知函數(shù)f(x)=
x
,g(x)=x+a(a>0)
(1)求a的值,使點(diǎn)M(f(x),g(x))到直線x+y-1=0的最短距離為
2
;
(2)若不等式|
f(x)-ag(x)
f(x)
|≤1
在x∈[1,4]恒成立,求a的取值范圍.
分析:(1)先用點(diǎn)到直線的距離公式表示距離,利用換元法,進(jìn)而利用二次函數(shù)的配方法即可求解;
(2)將絕對(duì)值符號(hào)化去,從而轉(zhuǎn)化為
ax+a2
x
≤2在 [ 1 , 4 ]
上恒成立,進(jìn)而利用換元法轉(zhuǎn)化為at2-2t+a2≤0在t∈[1,2]上恒成立,從而得解.
解答:解:(1)由題意得M到直線的距離d=
|
x
+x+a-1|
2
,令t=
x
≥0

d=
|t2+t+a-1|
2
=
|(t+
1
2
)
2
+a-
5
4
|
2

∵t≥0∴a≥1時(shí),
|(t+
1
2
)
2
+a-
5
4
|
2
a-1
2

即t=0時(shí),dmin=
a-1
2
=
2
∴a=30<a<1時(shí),dmin=0,不合題意
綜上a=3(6分)
(2)由|
f(x)-ag(x)
f(x)
|≤1?-1≤
f(x)-ag(x)
f(x)
≤1?0≤
ag(x)
f(x)
≤2

ax+a2
x
≤2在 [ 1 , 4 ]
上恒成立
也就是ax+a2≤2
x
在[1,4]上恒成立
x
=t≥0
,且x=t2,t∈[1,2]
由題意at2-2t+a2≤0在t∈[1,2]上恒成立
設(shè)?(t)=at2-2t+a2,則要使上述條件成立,只需
?(1)=a-2+a2≤0
?(2)=a2+4a-4≤0
⇒0<a≤2 (
2
-1)

即滿足條件的a的取值范圍是( 0 , 2
2
-2 ]
(13分)
點(diǎn)評(píng):本題以函數(shù)為載體,考查點(diǎn)線距離,考查恒成立問(wèn)題,關(guān)鍵是掌握距離公式,熟練恒成立問(wèn)題的處理策略.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說(shuō)法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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