Question

7．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD為圓的直徑，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)Q，AB，DC的延長線交于點(diǎn)P，連接PQ并延長交AD于點(diǎn)E，連接EB．
（1）求證：PE⊥AD；
（2）求證：BD平分∠EBC．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角為直角，以及三角形的垂心的定義和性質(zhì)，即可得證；
（2）證得點(diǎn)P，B，E，D共圓，可得∠AEB=∠BPC，同理可得∠PCB=∠DAB，則△AEB∽△CPB，再由相似三角形的性質(zhì)和內(nèi)角平分線的定義，即可得證．

解答 證明：（1）由題意可得AD為圓的直徑，
可得∠ABD=∠ACD=90°，
即有點(diǎn)Q為△APD的垂心，
則PE為邊AD上的高，
可得PE⊥AD；
（2）由（1）可知，∠PBD=∠PED=90°，
則點(diǎn)P，B，E，D共圓，可得∠AEB=∠BPC，
又∠PCB=∠DAB，則△AEB∽△CPB，
可得∠EBA=∠CBP，
即為90°-∠EBD=90°-∠CBD，
即有∠EBD=∠CBD，
則BD平分∠EBC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角為直角和三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．