Question

18．若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，那么當(dāng)n＞2，n∈N^*時，aⁿ+bⁿ與cⁿ的大小關(guān)系為aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

Answer 1

分析 由題意可得：a²+b²=c²，令$\frac{a}{c}$=cosθ，$\frac{c}$=sinθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．當(dāng)n＞2，n∈N^*時，$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{c}）^{n}$=cosⁿθ+sinⁿθ＜cos²θ+sin²θ，即可得出．

解答 解：由題意可得：a²+b²=c²，令$\frac{a}{c}$=cosθ，$\frac{c}$=sinθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
∴cos²θ+sin²θ=1．
∴當(dāng)n＞2，n∈N^*時，$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{c}）^{n}$=cosⁿθ+sinⁿθ＜cos²θ+sin²θ=1．
∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ，
故答案為：aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

點評 本題考查了勾股定理、三角函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．