【題目】設(shè)a,b是不相等的兩個正數(shù),且blna﹣alnb=a﹣b,給出下列結(jié)論:①a+b﹣ab>1;②a+b>2;③ + >2.其中所有正確結(jié)論的序號是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
【答案】D
【解析】解:①由blna﹣alnb=a﹣b,得blna+b=alnb+a,即 = ,設(shè)f(x)= ,x>0,
則f′(x)=﹣ =,
由f′(x)>0得﹣lnx>0,得lnx<0,得0<x<1,
由f′(x)<0得﹣lnx<0,得lnx>0,得x>1,
即當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取得極大值,
則 = ,等價為f(a)=f(b),
則a,b一個大于1,一個小于1,
不妨設(shè)0<a<1,b>1.
則a+b﹣ab>1等價為(a﹣1)(1﹣b)>0,
∵0<a<1,b>1.∴(a﹣1)(1﹣b)>0,則a+b﹣ab>1成立,故①正確,
②由即 = ,
得 = ,
由對數(shù)平均不等式得 = > ,
即lna+lnb>0,即lnab>0,
則ab>1,
由均值不等式得a+b2,故②正確,
③令g(x)=﹣xlnx+x,則g′(x)=﹣lnx,
則由g′(x)>0得﹣lnx>0,得lnx<0,得0<x<1,此時g(x)為增函數(shù),
由g′(x)<0得﹣lnx<0,得lnx>0,得x>1,此時g(x)為減函數(shù),
再令h(x)=g(x)﹣g(2﹣x),0<x<1,
則h′(x)=g′(x)+g′(2﹣x)=﹣lnx﹣lm(2﹣x)=﹣ln[x(2﹣x)]>0,
則h(x)=g(x)﹣g(2﹣x),在0<x<1上為增函數(shù),
則h(x)=g(x)﹣g(2﹣x)<h(1)=0,
則g(x)<g(2﹣x),
即g( )<g(2﹣ ),
∵g( )= ﹣ ln = + lna= = ,
∴g( )=g( )
則g( )=g( )<g(2﹣ ),
∵g(x)在0<x<1上為增函數(shù),
∴ >2﹣ ,
即 + >2.
故③正確,
故選:D
①由blna﹣alnb=a﹣b得 = ,構(gòu)造函數(shù)f(x)= ,x>0,判斷a,b的取值范圍即可.
②由對數(shù)平均不等式進(jìn)行證明,
③構(gòu)造函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)行證明即可.
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調(diào)遞增區(qū)間( )
A.
B.
C.
D.
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(Ⅰ)若顧客選擇參加一次抽獎,求他獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率;
(Ⅱ)某顧客已購物1500元,作為商場經(jīng)理,是希望顧客直接選擇返回150元現(xiàn)金,還是選擇參加3次抽獎?說明理由;
(Ⅲ)若顧客參加10次抽獎,則最有可能獲得多少現(xiàn)金獎勵?
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A.(k+1)2+2k2
B.(k+1)2+k2
C.(k+1)2
D.
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