Question

已知焦點(diǎn)在x軸，中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=

3

x，且過(guò)點(diǎn)（2，3）．
（1）若雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，雙曲線(xiàn)C上的點(diǎn)P滿(mǎn)足

PF1

•

PF2

=1，求|PF₁|•|PF₂|的值；
（2）過(guò)雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)A的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支交于另一點(diǎn)P（不同于右頂點(diǎn)B）且與在點(diǎn)B處的x軸的垂線(xiàn)交于點(diǎn)D，求證：以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF（F為右焦點(diǎn)）相切．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）．由于雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=

3

x，且過(guò)點(diǎn)（2，3），可得

b a = 3 4 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2

，可得雙曲線(xiàn)的方程為x2-

y2

3

=1．不妨設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，∠F₁PF₂=θ．由

PF1

•

PF2

=1，可得mncosθ=1．由余弦定理可得：2²=m²+n²-2mncosθ，根據(jù)定義可得m-n=2，
即可解得mn．
（2）F（2，0），B（1，0），A（-1，0）．設(shè)直線(xiàn)AP：y=k（x+1）（k＞0）．P（x₀，y₀）．可得

y

2 0

=3(

x

2 0

-1)，y₀=k（x₀+1）．D（1，2k），線(xiàn)段BD的中點(diǎn)C（1，k），|BD|=2k．要以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF相切，只要點(diǎn)C到直線(xiàn)PF的距離d=k即可．

解答： 解：（1）由題意可設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）．
∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=

3

x，且過(guò)點(diǎn)（2，3），∴

b a = 3 4 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2

，解得a=1，b=

3

，c=2．
∴雙曲線(xiàn)的方程為x2-

y2

3

=1．
∴F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
不妨設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，∠F₁PF₂=θ．∵

PF1

•

PF2

=1，∴mncosθ=1．
由余弦定理可得：2²=m²+n²-2mncosθ，
∴m²+n²=6，
又m-n=2，
∴2mn=2，解得mn=1．
∴|PF₁|•|PF₂|=1．
（2）F（2，0），B（1，0），A（-1，0）．
設(shè)直線(xiàn)AP：y=k（x+1）（k＞0）．P（x₀，y₀）．
則

y

2 0

=3(

x

2 0

-1)，y₀=k（x₀+1）．
D（1，2k），線(xiàn)段BD的中點(diǎn)C（1，k），|BD|=2k．
下面證明：要以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF相切，只要點(diǎn)C到直線(xiàn)PF的距離d=k即可．
直線(xiàn)PF的方程為：y=

y0

x0-2

(x-2)，即y₀x+（2-x₀）y-2y₀=0．
點(diǎn)C到直線(xiàn)PF的距離d=

|y0+k(2-x0)-2y0|

y 2 0 +(x0-2)2

=

|y0+k(x0-2)|

3( x 2 0 -1)+(x0-2)2

=

|k(x0+1)+k(x0-2)|

(2x0-1)2

=

|k(2x0-1)|

|2x0-1|

=k．
因此以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF（F為右焦點(diǎn)）相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線(xiàn)的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交問(wèn)題、直線(xiàn)與圓相切問(wèn)題、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、數(shù)量積運(yùn)算、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．