Question

已知函數(shù)f（x）=（a∈R），
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）討論方程f（x）=0解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（I）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上恒成立．則f′（x）=x-≥0在（1，+∞）上恒成立，
即：a≤x²在（1，+∞）上恒成立．所以有a≤1．
（II）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在定義域（0，+∞）上恒大于0，此時(shí)方程無(wú)解；
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=x-＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)．
∵f（1）=＞0，f（）=，所以方程有惟一解．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=x-=
因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)x時(shí)，f（x）在內(nèi)為增函數(shù)．
所以當(dāng)x=時(shí)，有極小值即為最小值f（）=．
當(dāng)a∈（0，e）時(shí)，f（）=＞0，此方程無(wú)解；
當(dāng)a=e時(shí)，f（）==0此方程有惟一解x=．
當(dāng)a∈（e，+∞）時(shí)，f（）=＜0
因?yàn)閒（1）=＞0且1，所以方程f（x）=0在區(qū)間（0，）上有惟一解，
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，（x-lnx）′＞0，所以x-lnx＞1，
所以x＞lnx，f（x）=＞，
因?yàn)?a＞＞1，所以f（x）=0，
所以方程f（x）=0在區(qū)間（，+∞）上有惟一解．所以方程f（x）=0在區(qū)間（e，+∞）上有兩解．
綜上所述：當(dāng)a∈[0，e）時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)a＜0或a=e時(shí)，方程有惟一解；
當(dāng)a＞e時(shí)方程有兩解．
分析：（I）根據(jù)函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，我們易得F′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)恒成立問(wèn)題，進(jìn)而求出a的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)a進(jìn)行分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)．把a(bǔ)代入f（x）中確定出f（x）的解析式，然后根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值，根據(jù)最小值小于0得到函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查分類討論的思想，計(jì)算能力，屬于難題題．此類題解答的關(guān)鍵是學(xué)生會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，掌握函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，是一道綜合題．