Question

6．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1的焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°，則△PF₁F₂的面積為3 $\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用橢圓定義求出|PF₁|+|PF₂|和|F₁F₂|的值，通過余弦定理求出|PF₁||PF₂|的值，再代入三角形的面積公式即可．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1方程可知，
a=5，b=3，
∴c=4
∵P點(diǎn)在橢圓上，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a=10，|F₁F₂|=2c=8
在△PF₁F₂中，
cos∠F₁PF₂=$\frac{|{PF}_{1}{|}^{2}+|{PF}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2\left|{PF}_{1}\right|\left|{PF}_{2}\right|}$
=$\frac{（\right|{PF}_{1}{|}^{\;}+|{PF}_{2}{\left|）}^{2}-2\left|{PF}_{1}\right|\left|{PF}_{2}\right|-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2\left|{PF}_{1}\right|\left|{PF}_{2}\right|}$
=$\frac{100-2\left|{PF}_{1}\right|\left|{PF}_{2}\right|-64}{2\left|{PF}_{1}\right|\left|{PF}_{2}\right|}$
=cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴72-4|PF₁||PF₂|=2|PF₁||PF₂|，
∴|PF₁||PF₂|=12，
又∵在△F₁PF₂中，
△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|sin∠F₁PF₂
∴S=$\frac{1}{2}$×12sin60°=3 $\sqrt{3}$；
故答案為：3 $\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積的求法，關(guān)鍵是應(yīng)用橢圓的定義和余弦定理轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力