Question

已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．
（1）求，的值；
（2）對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處切線的斜率，把點(diǎn)代入切線方程中，得，把點(diǎn)代入中，得關(guān)于的一個(gè)方程，又，得關(guān)于的另一個(gè)方程，聯(lián)立解；（2）恒成立問(wèn)題的解決辦法，一種方法是參變分離，由（1）得，∴，左邊函數(shù)的最大值；第二種方法是構(gòu)造函數(shù)，但是考慮到求導(dǎo)時(shí)候的困難，可先變形， ，，記，最大值小于0，即可.
試題解析：（1）由
而點(diǎn)在直線上，又直線的斜率為
故有
（2）方法一：由（1）得由及
令
令，故在區(qū)間上是減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，故要使成立，只需，故的取值范圍是.
方法二：由，則，∴，記，，①當(dāng)時(shí)，不滿足恒小于0；②當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，遞增，遞減，，；當(dāng)時(shí)， 所以不滿足，綜上所述：的取值范圍是.