已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值為數(shù)學(xué)公式，求四棱錐P-ABCD的體積．

解：（Ⅰ）因為E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點(diǎn)，
所以，所以，BEDF為平行四邊形，（2分）
得ED∥FB，（3分）
又因為FB?平面PFB，且ED?平面PFB，（4分）
所以DE∥平面PFB．（5分）

（Ⅱ）如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分
別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD=a，
可得如下點(diǎn)的坐標(biāo)：
P（0，0，a），F(xiàn)（1，0，0），B（2，2，0）
則有：，（6分）
因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一個法向量為=（0，0，1），（.7分）
設(shè)平面PFB的一個法向量為=（x，y，z），
則可得即
令x=1，得，所以．（9分）
由已知，二面角P-BF-C的余弦值為，
所以得：，（10分）
解得a=2．（11分）
因為PD是四棱錐P-ABCD的高，
所以，其體積為．（13分）
分析：（Ⅰ）要證DE∥平面PFB，只需證明DE平行平面PFB內(nèi)的直線FB，說明DE不在平面PFB內(nèi)，即可．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD=a，求出平面ABCD的一個法向量為，平面PFB的一個法向量為=（x，y，z），利用，以及已知二面角P-BF-C的余弦值為，求出a，然后求四棱錐P-ABCD的體積．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，二面角及其度量，考查計算能力，邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點(diǎn)，AE與BD交于O點(diǎn)，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點(diǎn)，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)寧一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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