Question

2．已知四面體A-ABD滿足下列條件：
（1）有一個面是邊長為1的等邊三角形；
（2）有兩個面是等腰直角三角形．
那么四面體A-BCD的體積的取值集合是（　　）

• A． {$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{12}$}
• B． {$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$}
• C． {$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{2}}{24}$}
• D． {$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{\sqrt{2}}{24}$}

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的不同位置判斷棱錐的底面和高，得出棱錐的體積．

解答 解：（1）若三棱錐的底面△BCD為等邊三角形，高為1，如圖1所示：則$V=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$

（2）若△ACD是邊長為1的正三角形，其余三個面都是等腰直角三角形，
其直角邊為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{24}$．
（3）若△ACD，△BCD是邊長為1的正三角形，其余兩個面都是等腰直角三角形，
其斜邊$AB=\sqrt{2}$，$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{12}$．
故選：C．

點評 本題考查了棱錐的體積計算，屬于中檔題．