Question

（本小題13分）為了保護環(huán)境，某工廠在政府部門的鼓勵下，進行技術(shù)改進：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：

，且每處理一噸二氧化碳可得價值為20萬元的某種化工產(chǎn)品．

（Ⅰ）當(dāng)時，判斷該技術(shù)改進能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？

（Ⅱ）當(dāng)處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

 

Answer 1

（1）國家至少需要補貼700萬元，該工廠才不會虧損；（2）當(dāng)處理量為噸時，每噸的平均處理成本最少．

【解析】

試題分析：（1）利用每處理一噸二氧化碳可得價值為20萬元的某種化工產(chǎn)品，及處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系，可得利潤函數(shù)，利用配方法，即可求得結(jié)論；（2）求得二氧化碳的每噸平均處理成本函數(shù)是分段函數(shù)，再分段求出函數(shù)的最值，比較其大小，即可求得結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，設(shè)該工廠獲利為，則，所以當(dāng)時，，因此，該工廠不會獲利，所以國家至少需要補貼700萬元，該工廠才不會虧損； 5分

（Ⅱ）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為 6分

（1）當(dāng)時，，所以，因為，所以當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得極小值． 9分

（2）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值， 12分

因為，所以當(dāng)處理量為噸時，每噸的平均處理成本最少． 13分

考點：應(yīng)用題，基本不等式．