Question

【題目】已知，點(diǎn)在第一象限，以為直徑的圓與軸相切，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，直線的斜率為，求滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】

（1）設(shè)，利用以為直徑的圓與軸相切列方程可得：，整理可得：，問(wèn)題得解.

（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得：，結(jié)合及可得：，構(gòu)造函數(shù)：并利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可判斷在內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，問(wèn)題得解.

（1）設(shè)，

又，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓與軸相切，

所以，即，

整理，得的方程為.

（2）由，得，，

設(shè)，

則，

由，即，得（*），

令，

由，得，或，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上遞減，在上遞增，

又的圖象連續(xù)不斷

所以在內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以方程（*）有且只有兩個(gè)不同的正根，

所以滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.