Question

16．（理）、過點（0，-2）的直線與拋物線y²=8x交于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為2，則|AB|等于（　　）

• A． $2\sqrt{17}$
• B． $\sqrt{17}$
• C． 2$\sqrt{15}$
• D． $\sqrt{15}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得k²x²-（4k+8）x+4=0，利用△＞0，可得k＞-1．利用中點坐標公式、根與系數(shù)的關(guān)系可得k及其弦長|AB|=$\sqrt{（1{+k}^{2}）{[{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}]}$．

解答 解：∵直線過點（0，-2），顯然直線斜率存在，
設(shè)直線方程是：y=kx-2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化為k²x²-（4k+8）x+4=0，
△=（4k+8）²-16k²＞0，化為k＞-1．
∴x₁+x₂=$\frac{8+4k}{{k}^{2}}$=2×2，化為k²-k-2=0，
解得k=-1或k=2．
∴k=2．
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{{（1+2}^{2}）{[{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}]}$=$\sqrt{5（16-4）}$=2$\sqrt{15}$．
故選：C．

點評 本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．