Question

設橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其長軸長是短軸長的

2

倍，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）點P是橢圓E上橫坐標大于2的動點，點B，C在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PBC，試判斷點P在何位置時△PBC的面積S最小，并證明你的判斷．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知條件推導出a=

2

b，

b2

a

=

3

，由此能求出橢圓方程．
（ II）設P(x0，y0)(2＜x0≤2

3

)，B（0，m），C（0，n）．不妨設m＞n，由已知條件推導出m，n是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的兩個根，由此能求出點P的橫坐標為x0=2

3

時，△PBC的面積S最�。�

解答： 解：（ I）由已知a=

2

b，

b2

a

=

3

，…（2分）
解得：a=2

3

，b=

6

，
故所求橢圓方程為

x2

12

+

y2

6

=1．…（4分）
（ II）設P(x0，y0)(2＜x0≤2

3

)，
B（0，m），C（0，n）．不妨設m＞n，
則直線PB的方程為lPB：y-m=

y0-m

x0

x，…（5分）
即（y₀-m）x-x₀y+x₀m=0，
又圓心（1，0）到直線PB的距離為1，
即

|y0-m+x0m|

(y0-m)2+x02

=1，x0＞2，
化簡得(x0-2)m2+2y0m-x0=0，…（7分）
同理，(x0-2)n2+2y0n-x0=0，
∴m，n是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的兩個根，
∴m+n=

-2y0

x0-2

，mn=

-x0

x0-2

，
則(m-n)2=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0

(x0-2)2

，…（9分）
∵P（x₀，y₀）是橢圓上的點，
∴

y

2 0

=6(1-

x 2 0

12

)，∴(m-n)2=

2 x 2 0 -8x0+24

(x0-2)2

．
則S2=

1

4

•

2 x 2 0 -8x0+24

(x0-2)2

•

x

2 0

=

x 2 0 -4x0+12

2(x0-2)2

•

x

2 0

=

(x0-2)2+8

2(x0-2)2

•

x

2 0

，
令x0-2=t(0＜t≤2(

3

-1))，
則x₀=t+2，令f(t)=

(t2+8)(t+2)2

2t2

，
化簡，得f(t)=

1

2

t2+2t+6+

16

t

+

16

t2

，
則f′(t)=t+2-

16

t2

-

32

t3

=

(t+2)(t3-16)

t3

，
令f'（t）=0，得t=2

3	2

，而2(

3

-1)＜2

3	2

，
∴函數(shù)f（t）在[0，2(

3

-1)]上單調(diào)遞減，
當t=2(

3

-1)時，f（t）取到最小值，
此時x0=2

3

，
即點P的橫坐標為x0=2

3

時，△PBC的面積S最�。�…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點在何處時三角形面積最小的判斷和證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)的單調(diào)性的合理運用．