Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝x²(ax－3)，其中a為常數(shù).

 (Ⅰ)若x＝1是函數(shù)f(x)的一個極值點，求a的值；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間（－1，0）上是增數(shù)，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)a＝2； (Ⅱ)a≥－2.  

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

（1）根據(jù)f(x)＝ax³－3x，f¢(x)＝3ax²－6x＝3x(ax－2),因為x＝1是f(x)的一個極值點，∴f¢(1)＝0得到參數(shù)a的值。

（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間（－1，0）上是增數(shù)，說明導函數(shù)在給定區(qū)間恒大于等于零，既可以運用分離參數(shù)的思想求解得到參數(shù)的范圍。

解：(Ⅰ)f(x)＝ax³－3x，f¢(x)＝3ax²－6x＝3x(ax－2),。。。。。。。。。。。。。。。。。。

∵x＝1是f(x)的一個極值點，∴f¢(1)＝0，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 

∴a＝2；                                 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

(Ⅱ)①當a＝0時，f(x)＝－3x²在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，∴a＝0符合題意；

②當a≠0時，f¢(x)＝3ax(x－)，由f¢(x)＝0，得x＝0，x＝

當a＞0時，對任意x∈(－1，0)，f¢(x)＞0，∴a＞0符合題意；。。。。。。。。。。

當a＜0時，當x∈(，0)時，由f¢(x)＞0，得≤－1，∴－2≤a＜0符合題意；。。

綜上所述，a≥－2.                                               。。。。。