Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率e=

2

2

，且橢圓上的點到右焦點F的最小距離為

2

-1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）又已知點A為拋物線y²=2px（p＞0）上一點，直線FA與橢圓C的交點B在y軸的左側(cè)，且滿足

AB

=2

FA

，求p的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由于橢圓上的點到右焦點F的最小距離為

2

-1，可得a-c=

2

-1．又e=

c

a

=

2

2

，b²=a²-c²，解出即可．
（2）橢圓的右焦點為F（1，0），點B在橢圓

x2

2

+y2=1(x＜0)上，設B（x₀，y₀），其中-

2

≤x0＜0，由

AB

=2

FA

，可得x_A=

x0+2

3

，yA=

y0

3

．由點A為拋物線y²=2px（p＞0）上一點，可得

y 2 0

9

=2p•

x0+2

3

，又

y

2 0

=1-

x 2 0

2

，可得12p=

2- x 2 0

x0+2

．通過換元利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓上的點到右焦點F的最小距離為

2

-1，
∴a-c=

2

-1．
又e=

c

a

=

2

2

，解得c=1，a=

2

，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）橢圓的右焦點為F（1，0），點B在橢圓

x2

2

+y2=1(x＜0)上，
設B（x₀，y₀），其中-

2

≤x0＜0，
由

AB

=2

FA

，可得x_A=

x0+2

3

，yA=

y0

3

．
由點A為拋物線y²=2px（p＞0）上一點，可得

y 2 0

9

=2p•

x0+2

3

，
又

y

2 0

=1-

x 2 0

2

，
∴12p=

2- x 2 0

x0+2

．
令t=x₀+2，則2-

2

≤t＜2，
即12p=

-t2+4t-2

t

=-(t+

2

t

-4)．
∵2-

2

≤t＜2．∴t+

2

t

≥2

2

（當且僅當t=

2

時取“=”）．
∴p≤

1

3

-

2

6

．又當t=

2

時，x0=

2

-2為橢圓在y軸左側(cè)上的點．
故p的最大值為

1

3

-

2

6

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、向量的線性運算、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．