【題目】已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn滿足:2Sn+an=1
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 求證:Tn< .
【答案】
(1)解:∵2Sn+an=1,
∴當(dāng)n≥2時(shí),2Sn﹣1+an﹣1=1,
∴2an+an﹣an﹣1=0,化為 .
當(dāng)n=1時(shí),2a1+a1=1,∴a1= .
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項(xiàng)與公比都為 .
∴ .
(2)證明:bn=
=
=
= ,
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn= + +…+
= .
∴Tn< .
【解析】(1)利用遞推式可得: .再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;(2)由(1)可得bn= = ,;利用“裂項(xiàng)求和”即可得出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 進(jìn)而得到證明.
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)關(guān)于的一元二次方程.
(1)若是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù), 是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率;
(2)若時(shí)從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù), 是從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+2﹣x ,
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)用函數(shù)單調(diào)性定義證明:f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù);
(3)若f(x)=52﹣x+3,求x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有道數(shù)學(xué)題,其中道選擇題, 道填空題,小明從中任取道題,求:
(1)所取的道題都是選擇題的概率;
(2)所取的道題不是同一種題型的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將數(shù)字1,2,3,…, ()全部填入一個(gè)2行列的表格中,每格填一個(gè)數(shù)字,第一行填入的數(shù)字依次為, ,…, ,第二行填入的數(shù)字依次為, ,…, .記.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),若, , ,寫出的所有可能的取值;
(Ⅱ)給定正整數(shù).試給出, ,…, 的一組取值,使得無(wú)論, ,…, 填寫的順序如何, 都只有一個(gè)取值,并求出此時(shí)的值;
(Ⅲ)求證:對(duì)于給定的以及滿足條件的所有填法, 的所有取值的奇偶性相同.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足: ,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為 , 成立的正整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證: ;
(3)求證:當(dāng)時(shí), , 恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓(是大于的常數(shù))的左、右頂點(diǎn)分別為、,點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線、與直線分別交于、兩點(diǎn)(設(shè)直線的斜率為正數(shù)).
(Ⅰ)設(shè)直線、的斜率分別為, ,求證為定值.
(Ⅱ)求線段的長(zhǎng)度的最小值.
(Ⅲ)判斷“”是“存在點(diǎn),使得是等邊三角形”的什么條件?(直接寫出結(jié)果)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: ,過(guò)點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)分別為, ,直線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦, ,設(shè), 的中點(diǎn)分別為, ,證明:直線必過(guò)定點(diǎn),并求此定點(diǎn)坐標(biāo).
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