Question

（07年上海卷理）（18分）

已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱(chēng)為“果圓”，其中。如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，

（1）若三角形是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

（2）若，求的取值范圍；

（3）一條直線與果圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的連線段稱(chēng)為果圓的弦。是否存在實(shí)數(shù)，使得斜率為的直線交果圓于兩點(diǎn)，得到的弦的中點(diǎn)的軌跡方程落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有的值；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解析：（1） ，

，

    于是，所求“果圓”方程為                           

    ， 

（2）由題意，得  ，即．

         ，，得．  

     又．  ．               

    （3）設(shè)“果圓”的方程為，．

    記平行弦的斜率為．

當(dāng)時(shí)，直線與半橢圓的交點(diǎn)是

，與半橢圓的交點(diǎn)是．

 的中點(diǎn)滿(mǎn)足  得 ．

     ， ．

    綜上所述，當(dāng)時(shí)，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上．  

    當(dāng)時(shí)，以為斜率過(guò)的直線與半橢圓的交點(diǎn)是．  

由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上，

即不在某一橢圓上．

    當(dāng)時(shí)，可類(lèi)似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上．